1.4 Analyse von Methoden zur Untersuchung nichtlinearer Systeme

Ungefähre Methoden zur Untersuchung nichtlinearer automatischer Systeme. Analyse nichtlinearer Systeme. Anwendung der Theorie der Markov-Prozesse auf die Analyse nichtlinearer Systeme. Harmonische Linearisierungsmethode

1.4 Analyse von Methoden zur Untersuchung nichtlinearer Systeme

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Das Vorhandensein von Nichtlinearitäten in Steuerungssystemen führt zur Beschreibung eines solchen Systems durch nichtlineare Differentialgleichungen, oft recht hoher Ordnung. Bekanntlich lassen sich die meisten Gruppen nichtlinearer Gleichungen nicht in allgemeiner Form lösen, sondern man kann nur über spezielle Lösungsfälle sprechen, daher spielen bei der Untersuchung nichtlinearer Systeme verschiedene Näherungsmethoden eine wichtige Rolle.

Mit Näherungsmethoden zur Untersuchung nichtlinearer Systeme ist es in der Regel unmöglich, ein ausreichend vollständiges Verständnis aller dynamischen Eigenschaften des Systems zu erlangen. Mit ihrer Hilfe ist es jedoch möglich, eine Reihe einzelner wesentlicher Fragen zu beantworten, wie z. B. die Frage der Stabilität, des Vorhandenseins von Selbstschwingungen, der Art bestimmter Moden usw.

Derzeit gibt es eine große Anzahl verschiedener analytischer und graphanalytischer Methoden zur Untersuchung nichtlinearer Systeme, unter denen wir die Methoden der Phasenebene, Anpassung, Punkttransformationen, harmonische Linearisierung, die direkte Methode von Lyapunov und Frequenzmethoden zur Untersuchung des Absoluten hervorheben können Stabilität von Popov, Methoden zur Untersuchung nichtlinearer Systeme an elektronischen Modellen und Computern.

Kurze Beschreibung einiger der aufgeführten Methoden.

Die Phasenebenenmethode ist genau, hat jedoch eine begrenzte Anwendung, da sie für Steuerungssysteme, deren Beschreibung nicht auf Steuerungen zweiter Ordnung reduziert werden kann, praktisch nicht anwendbar ist.

Die harmonische Linearisierungsmethode ist eine Näherungsmethode; sie unterliegt keinen Einschränkungen hinsichtlich der Reihenfolge der Differentialgleichungen. Bei der Anwendung dieser Methode wird davon ausgegangen, dass am Ausgang des Systems harmonische Schwingungen vorliegen und der lineare Teil des Regelsystems ein Hochpassfilter ist. Bei schwacher Filterung von Signalen durch den linearen Teil des Systems müssen bei Verwendung der harmonischen Linearisierungsmethode höhere Harmonische berücksichtigt werden. Gleichzeitig wird die Analyse der Stabilität und Qualität von Regelprozessen nichtlinearer Systeme komplexer.

Die zweite Lyapunov-Methode ermöglicht es, nur ausreichende Stabilitätsbedingungen zu erhalten. Und wenn auf dieser Grundlage die Instabilität des Steuerungssystems festgestellt wird, ist es in einigen Fällen zur Überprüfung der Richtigkeit des erhaltenen Ergebnisses erforderlich, die Lyapunov-Funktion durch eine andere zu ersetzen und eine erneute Stabilitätsanalyse durchzuführen. Darüber hinaus gibt es keine allgemeinen Methoden zur Bestimmung der Ljapunow-Funktion, was die praktische Anwendung dieser Methode erschwert.

Mit dem Kriterium der absoluten Stabilität können Sie die Stabilität nichtlinearer Systeme anhand von Frequenzeigenschaften analysieren. Dies ist ein großer Vorteil dieser Methode, da sie den mathematischen Apparat linearer und nichtlinearer Systeme zu einem Ganzen vereint. Zu den Nachteilen dieser Methode gehört die Komplexität der Berechnungen bei der Analyse der Stabilität von Systemen mit einem instabilen linearen Anteil. Um das korrekte Ergebnis zur Stabilität nichtlinearer Systeme zu erhalten, ist daher der Einsatz verschiedener Methoden erforderlich. Und nur das Zusammentreffen verschiedener Ergebnisse wird es uns ermöglichen, Fehlurteile über die Stabilität oder Instabilität des entworfenen automatischen Kontrollsystems zu vermeiden.

2.7.3.1. Exakte Methoden zur Untersuchung nichtlinearer Systeme

1. Direkte Lyapunov-Methode. Es basiert auf Lyapunovs Theorem über die Stabilität nichtlinearer Systeme. Als Forschungsapparat wird die Lyapunov-Funktion verwendet, die eine vorzeichenbestimmte Funktion der Koordinaten des Systems ist, die auch eine vorzeichenbestimmte Ableitung nach der Zeit hat. Die Anwendung der Methode ist durch ihre Komplexität begrenzt.

2. Popovs Methode (rumänischer Wissenschaftler) ist einfacher, aber nur für einige Sonderfälle geeignet.

3. Methode basierend auf stückweiser linearer Näherung. Die Eigenschaften einzelner nichtlinearer Verknüpfungen werden in mehrere lineare Abschnitte unterteilt, innerhalb derer sich das Problem als linear herausstellt und recht einfach gelöst werden kann.

Das Verfahren kann eingesetzt werden, wenn die Anzahl der Abschnitte, in die die nichtlineare Kennlinie unterteilt wird, gering ist (Relaiskennlinien). Bei einer großen Anzahl von Bereichen ist es schwierig. Die Lösung ist nur mit Hilfe eines Computers möglich.

4. Phasenraummethode. Ermöglicht die Untersuchung von Systemen mit Nichtlinearitäten beliebigen Typs sowie mit mehreren Nichtlinearitäten. Gleichzeitig wird im Phasenraum ein sogenanntes Phasenporträt der im nichtlinearen System ablaufenden Prozesse erstellt. Anhand des Phasenporträts kann man die Stabilität, die Möglichkeit von Selbstoszillationen und die Genauigkeit im stationären Zustand beurteilen. Allerdings ist die Dimension des Phasenraums gleich der Ordnung der Differentialgleichung des nichtlinearen Systems. Eine Anwendung für Systeme höherer Ordnung als zweiter Ordnung ist praktisch unmöglich.

5. Zur Analyse zufälliger Prozesse können Sie den mathematischen Apparat der Theorie der Markov-Zufallsprozesse verwenden. Allerdings schränkt die Komplexität der Methode und die Fähigkeit zur Lösung der Fokker-Planck-Gleichung, die in der Analyse nur für Gleichungen erster und teilweise auch zweiter Ordnung erforderlich ist, ihren Einsatz ein.

Obwohl präzise Methoden zur Analyse nichtlinearer Systeme genaue und korrekte Ergebnisse ermöglichen, sind sie sehr komplex, was ihre praktische Anwendung einschränkt. Diese Methoden sind aus rein wissenschaftlicher, kognitiver und forschungstechnischer Sicht wichtig und können daher als rein akademische Methoden eingestuft werden, deren praktische Anwendung auf reale komplexe Systeme keinen Sinn ergibt.

2.7.3.2. Ungefähre Methoden zur Untersuchung nichtlinearer Systeme

Die Komplexität und Einschränkungen der praktischen Anwendung exakter Methoden zur Analyse nichtlinearer Systeme haben dazu geführt, dass näherungsweise einfachere Methoden zur Untersuchung dieser Systeme entwickelt werden müssen. Näherungsmethoden ermöglichen es in vielen praktischen Fällen, ganz einfach transparente und gut sichtbare Ergebnisse der Analyse nichtlinearer Systeme zu erhalten. Zu den ungefähren Methoden gehören:

1. Die Methode der harmonischen Linearisierung, die auf dem Ersetzen eines nichtlinearen Elements durch sein lineares Äquivalent basiert und für einige Bewegungen des Systems, die der Harmonischen nahe kommen, eine Äquivalenz erreicht. Damit lässt sich ganz einfach die Möglichkeit untersuchen, ob es zu Eigenschwingungen im Regelsystem kommen kann. Die Methode kann jedoch auch zur Untersuchung transienter Prozesse nichtlinearer Systeme angewendet werden.

2. Die Methode der statistischen Linearisierung basiert ebenfalls auf dem Ersetzen eines nichtlinearen Elements durch sein lineares Äquivalent, jedoch wenn sich das System unter dem Einfluss zufälliger Störungen bewegt. Die Methode ermöglicht es, das Verhalten eines nichtlinearen Systems unter zufälligen Einflüssen relativ einfach zu untersuchen und einige seiner statistischen Eigenschaften zu ermitteln.

Harmonische Linearisierungsmethode

Wenden wir es auf nichtlineare Systeme an, die durch eine Differentialgleichung beliebiger Ordnung beschrieben werden. Betrachten wir es nur im Zusammenhang mit der Berechnung von Eigenschwingungen in einem automatischen Steuerungssystem. Unterteilen wir das Regelsystem in lineare und nichtlineare Teile (Abb. 7.2) mit Übertragungsfunktionen bzw.

Für eine lineare Verbindung:

Ein nichtlinearer Link kann nichtlineare Abhängigkeiten der Form haben:

usw. Beschränken wir uns auf Abhängigkeiten der Form:

Reis. 7.2. Auf dem Weg zur harmonischen Linearisierungsmethode

Stellen wir uns das Problem, Selbstschwingungen in diesem nichtlinearen System zu untersuchen. Streng genommen werden die Eigenschwingungen nicht sinusförmig sein, wir gehen aber davon aus, dass es sich um die Variable handelt X sie liegen nahe an der harmonischen Funktion. Dies wird dadurch begründet, dass der lineare Teil (7.1) in der Regel ein Tiefpassfilter (LPF) ist. Daher verzögert der lineare Teil die in der Variablen enthaltenen höheren Harmonischen j. Diese Annahme wird als Filterhypothese bezeichnet. Andernfalls, wenn der lineare Teil ein Hochpassfilter (HPF) ist, kann die harmonische Linearisierungsmethode zu fehlerhaften Ergebnissen führen.

Durch Einsetzen in (7.2) entwickeln wir (7.2) zu einer Fourier-Reihe:

Nehmen wir an, dass es in den gewünschten Schwingungen keine konstante Komponente gibt, d.h.

Diese Bedingung ist immer dann erfüllt, wenn die nichtlineare Kennlinie symmetrisch zum Koordinatenursprung ist und kein äußerer Einfluss auf die nichtlineare Verbindung einwirkt.

Das haben wir dann akzeptiert.

In der schriftlichen Erweiterung werden wir alle höheren Harmonischen der Reihe ersetzen und verwerfen, da sie als herausgefiltert gelten. Dann erhalten wir für die nichtlineare Verbindung die Näherungsformel

wobei und die harmonischen Linearisierungskoeffizienten sind, die durch die Entwicklungsformeln der Fourier-Reihe bestimmt werden:

Somit wird die nichtlineare Gleichung (7.2) durch eine Näherungsgleichung für die erste Harmonische (7.3) ersetzt, ähnlich der linearen Gleichung. Seine Besonderheit besteht darin, dass die Koeffizienten der Gleichung von der gewünschten Amplitude der Eigenschwingungen abhängen. Im allgemeinen Fall hängen diese Koeffizienten bei einer komplexeren Abhängigkeit (7.2) sowohl von der Amplitude als auch von der Frequenz ab.

Der durchgeführte Vorgang des Ersetzens einer nichtlinearen Gleichung durch eine annähernd lineare wird als harmonische Linearisierung bezeichnet, und die Koeffizienten (7.4), (7.5) werden als harmonische Übertragungskoeffizienten der nichtlinearen Verbindung bezeichnet.

Aus (7.3) folgt, dass für das betrachtete System die Übertragungsfunktion der nichtlinearen Verbindung lautet:

Unter Berücksichtigung von (7.1) und (7.3) erhalten wir die Übertragungsfunktion des Open-Loop-Systems:

und die charakteristische Gleichung des geschlossenen Systems:

Durch Einsetzen in (7.6) finden wir die Frequenzübertragungsfunktion des Open-Loop-Systems:

Hängt nicht davon ab [siehe (7.8)].

Der Modul der äquivalenten Übertragungsfunktion einer nichtlinearen Verbindung wird durch die Formel bestimmt:

und ist gleich dem Verhältnis der Amplitude der ersten Harmonischen an ihrem Ausgang zur Amplitude des Eingangswerts. Das Argument der Frequenzübertragungsfunktion der nichtlinearen Verbindung ist gleich:

Es kann gezeigt werden, dass für nichtlineare Verknüpfungen mit eindeutigen und relativ zum Koordinatenursprung symmetrischen Eigenschaften, die keine Hystereseschleifen aufweisen, also rein reale Verknüpfungen vorliegen

Die Umkehrung der äquivalenten Übertragungsfunktion einer nichtlinearen Verbindung wird häufig verwendet:

wird als äquivalente Impedanz der nichtlinearen Verbindung bezeichnet. Seine Verwendung ist praktisch, wenn Selbstoszillationen mithilfe des Nyquist-Kriteriums berechnet werden. Betrachten Sie als Beispiel für die Verwendung der harmonischen Linearisierungsmethode die Relaischarakteristik eines Dreistellungsrelais ohne Hystereseschleife (Abb. 7.3). Wie aus Abb. ersichtlich ist. 7.3 ist die statische Charakteristik symmetrisch zum Koordinatenursprung, also . Daher ist es nur erforderlich, den Koeffizienten mithilfe der Formel (7.4) zu ermitteln. Dazu wenden wir eine Sinusfunktion auf den Eingang der Verknüpfung an und konstruieren y(t) (Abb. 7.4).

Reis. 7.3. Statische Charakteristik der Dreistellung

Relais ohne Hystereseschleife

Wie aus Abb. ersichtlich ist. 7,4, mit

Der Phasenwinkel entsprechend x 1 = b ist gleich arcsin (b/a) (Abb. 7.4).

Unter Berücksichtigung der Symmetrie des Integranden und gemäß (7.4) gilt:

Weil , dann haben wir endlich:

Auf ähnliche Weise ist es möglich, eine harmonische Linearisierung anderer nichtlinearer Verbindungen durchzuführen. Die Linearisierungsergebnisse sind in , angegeben.

Wie oben erwähnt, eignet sich die Methode der harmonischen Linearisierung zur Analyse der Möglichkeit des Auftretens eines Selbstschwingungsregimes in einem nichtlinearen System und zur Bestimmung seiner Parameter. Zur Berechnung von Eigenschwingungen werden verschiedene Stabilitätskriterien herangezogen. Der einfachste und naheliegendste Weg ist die Verwendung des Nyquist-Kriteriums. Besonders praktisch ist die Anwendung des Nyquist-Kriteriums dann, wenn eine nichtlineare Abhängigkeit der Form vorliegt und die äquivalente Übertragungsfunktion der nichtlinearen Verknüpfung nur von der Amplitude des Eingangssignals abhängt.

Reis. 7.4. Beispiel für die Linearisierung einer Relaiskennlinie

Bedingungen für das Auftreten von Selbstschwingungen: Das Auftreten eines Paares rein imaginärer Wurzeln in Lösung (7.7), und alle anderen Wurzeln liegen in der linken Halbebene (Verbindung mit dem Punkt –1,j0).

Setzen wir (7.7) mit minus eins gleich:

Um (7.12) zu lösen, setzen wir verschiedene Werte von und konstruieren den AFC. Bei a = A durchläuft die AFC den Punkt (-1,j0), was dem Fehlen von Stabilitätsreserven entspricht.

Die Frequenz und entsprechen der Frequenz und Amplitude der gewünschten harmonischen Schwingung: (Abb. 7.5).

In ähnlicher Weise ist es möglich, eine periodische Lösung für nichtlineare Abhängigkeiten jeglicher Art zu finden, was insbesondere dazu führt, dass die äquivalente Übertragungsfunktion eines nichtlinearen Elements nicht nur von der Amplitude, sondern auch von der Frequenz abhängt. Wenn wir uns darauf beschränken, eine nichtlineare Abhängigkeit der Form zu berücksichtigen, kann der Prozess der Ermittlung des periodischen Regimes vereinfacht werden.

Reis. 7.5. Voraussetzung für das Auftreten von Selbstschwingungen

Schreiben wir Gleichung (7.12) in der Form:

Siehe (7.11). (7.13)

Gleichung (7.13) lässt sich grafisch leicht lösen. Zu diesem Zweck ist es notwendig, die AFC und die inverse AFC mit umgekehrtem Vorzeichen getrennt zu konstruieren. Der Schnittpunkt zweier AFCs bestimmt die Lösung (7.13). Die Frequenz des periodischen Modus ermitteln wir anhand der Frequenzmarkierungen im Diagramm und die Amplitude anhand der Amplitudenmarkierungen im Diagramm (Abb. 7.6).

Das gefundene periodische Regime entspricht jedoch nur dann Selbstoszillationen, wenn es in dem Sinne stabil ist, dass dieses Regime für unbegrenzte Zeit im System existieren kann. Die Stabilität des periodischen Modus kann wie folgt bestimmt werden.

Nehmen wir an, dass der lineare Teil des Systems im offenen Zustand stabil oder neutral ist. Geben wir der Amplitude A ein positives Inkrement A. Dann nimmt sie zu und daher ab. Dadurch nimmt er ab und entfernt sich somit noch weiter vom Punkt (-1,j0). A nimmt ab und tendiert gegen 0. Ähnlich verhält es sich, wenn A ein negatives Inkrement erhalten hat – A. Dann wird es abnehmen, also zunehmen, es wird zunehmen, und daher wird die Amplitude zunehmen, weil AFC nähert sich dem Punkt (-1,j0) (Abnahme der Stabilitätsmargen).

Reis. 7.6. Die Bedingung für das Auftreten von Selbstschwingungen im nichtlinearen Zustand

Abhängigkeiten des Typs

Folglich verändert jede zufällige Abweichung von A das System so, dass die Amplitude ihren Wert wiederherstellt. Dies entspricht der Stabilität des periodischen Regimes, das Selbstschwingungen entspricht.

Das Stabilitätskriterium für den periodischen Modus besteht hier darin, dass der Teil der Kurve, der kleineren Amplituden entspricht, von der AFC des linearen Teils des Systems abgedeckt wird, was dem Vorhandensein eines Schnittpunkts der Kennlinie mit entspricht der negative Teil der Achse der reellen Werte (siehe Abb. 7.6).

Wenn der AFC eines Systems mit offenem Regelkreis den negativen Teil der Achse der reellen Werte zweimal kreuzt, ist es möglich, dass der AFC für zwei Werte von und durch den Punkt (-1,j0) verläuft (Abb. 7.7).

Die beiden Schnittpunkte entsprechen zwei möglichen periodischen Lösungen mit den Parametern und . Ähnlich wie oben können Sie sicherstellen, dass der erste Punkt einem instabilen Modus periodischer Schwingungen entspricht und der zweite einem stabilen, d. h. Selbstschwingungen (Abb. 7.8).

In komplexeren Fällen, wenn es beispielsweise instabil ist, ist es möglich, die Stabilität des resultierenden periodischen Modus zu bestimmen, indem die Position der AFC des Open-Loop-Systems berücksichtigt wird. Gemeinsam bleibt dabei, dass es für die Stabilität des periodischen Regimes notwendig ist, dass ein positiver Anstieg der Amplitude zu konvergenten Prozessen im System führt und ein negativer zu divergenten.

In Ermangelung möglicher periodischer Moden nahe der Harmonischen im System, was aus der obigen Berechnung hervorgeht, gibt es viele verschiedene Optionen für das Verhalten des Systems. Allerdings gibt es in Systemen, deren linearer Teil die Eigenschaft hat, höhere Harmonische zu unterdrücken, insbesondere in solchen Systemen, in denen es für einige Parameter eine periodische Lösung gibt, für andere jedoch nicht, Grund zu der Annahme, dass das System dies tun wird, wenn keine periodische Lösung vorhanden ist relativ zum Gleichgewichtszustand stabil sein. In diesem Fall kann die Stabilität des Gleichgewichtszustands anhand der Anforderung beurteilt werden, dass, wenn der lineare Teil im offenen Zustand stabil oder neutral ist, sein AFC den Hodographen nicht abdeckt

Methode zur statistischen Linearisierung nichtlinearer Kennlinien

Um die statistischen Eigenschaften nichtlinearer Systeme auszuwerten, können Sie die Methode der statistischen Linearisierung verwenden, die auf dem Ersetzen der nichtlinearen Charakteristik durch eine lineare basiert, die in gewissem Sinne der Statistik der ursprünglichen nichtlinearen Charakteristik entspricht.

Das Ersetzen einer nichtlinearen Transformation durch eine lineare Transformation ist ein Näherungswert und kann nur in mancher Hinsicht fair sein. Daher ist das Konzept der statistischen Äquivalenz, auf dessen Grundlage eine solche Ersetzung vorgenommen wird, nicht eindeutig, und es ist möglich, verschiedene Kriterien für die statistische Äquivalenz der nichtlinearen und der sie ersetzenden linearen Transformationen zu formulieren.

Für den Fall, dass eine nichtlineare trägheitsfreie Abhängigkeit der Form (7.2) einer Linearisierung unterzogen wird, werden üblicherweise die folgenden statistischen Äquivalenzkriterien angewendet:

Die erste erfordert die Gleichheit der mathematischen Erwartungen und Varianzen der Prozesse und , wobei der Ausgabewert der äquivalenten linearisierten Verbindung und der Ausgabewert der nichtlinearen Verbindung ist;

Die zweite erfordert die Minimierung des mittleren Quadrats der Differenz zwischen den Prozessen am Ausgang der nichtlinearen und linearisierten Elemente.

Betrachten wir die Linearisierung für den Fall der Anwendung des ersten Kriteriums. Ersetzen wir die nichtlineare Abhängigkeit (7.2) durch eine lineare Kennlinie (7.14), die die gleichen mathematischen Erwartungen und Streuungen aufweist wie diejenigen, die am Ausgang der nichtlinearen Verknüpfung mit Kennlinie (7.2) verfügbar sind. Zu diesem Zweck stellen wir (7.14) in der Form dar: , wobei es sich um eine zentrierte Zufallsfunktion handelt.

Entsprechend dem gewählten Kriterium müssen die Koeffizienten und die folgenden Beziehungen erfüllen:

Aus (7.15) folgt, dass statistische Äquivalenz vorliegt, wenn

Außerdem muss das Vorzeichen mit dem Vorzeichen der Ableitung der nichtlinearen Kennlinie F( X).

Die Größen werden als statistische Linearisierungskoeffizienten bezeichnet. Um sie zu berechnen, müssen Sie das Signal am Ausgang der nichtlinearen Verbindung kennen:

wobei die Wahrscheinlichkeitsdichte der Verteilung eines Zufallssignals am Eingang der nichtlinearen Verbindung ist.

Für das zweite Kriterium werden die statistischen Linearisierungskoeffizienten so gewählt, dass ein Minimum der mittleren quadratischen Differenz zwischen den Prozessen am Ausgang der nichtlinearen und linearisierten Verbindung gewährleistet ist, d.h. sorgen für Gleichberechtigung

Die Koeffizienten der statistischen Linearisierung, wie aus (7.16), (7.17) und (7.18) folgt, hängen nicht nur von den Eigenschaften der nichtlinearen Verbindung ab, sondern auch vom Verteilungsgesetz des Signals an seinem Eingang. In vielen praktischen Fällen kann davon ausgegangen werden, dass das Verteilungsgesetz dieser Zufallsvariablen ein Gaußsches (normales) Gesetz ist, das durch den Ausdruck beschrieben wird

Dies erklärt sich aus der Tatsache, dass nichtlineare Verbindungen in Steuerungssystemen mit linearen Trägheitselementen in Reihe geschaltet sind, deren Verteilungsgesetze deren Ausgangssignale für alle Verteilungsgesetze ihrer Eingangssignale nahe an Gauß liegen. Je träger das System ist, desto näher ist das Verteilungsgesetz des Ausgangssignals dem Gaußschen, d. h. Trägheitsgeräte des Systems führen zur Wiederherstellung der Gaußschen Verteilung, die durch nichtlineare Verbindungen verletzt wird. Darüber hinaus wirken sich Änderungen des Verteilungsgesetzes in einem sehr kleinen Bereich auf die statistischen Linearisierungskoeffizienten aus. Daher wird angenommen, dass die Signale am Eingang nichtlinearer Elemente gemäß dem Gaußschen Gesetz verteilt sind.

In diesem Fall hängen die Koeffizienten und nur vom Signal am Eingang der nichtlinearen Verbindung ab, daher können für typische nichtlineare Eigenschaften die Koeffizienten und im Voraus berechnet werden, was die Berechnungen von Systemen mit der Methode der statistischen Linearisierung erheblich vereinfacht. Für das Normalverteilungsgesetz und typische nichtlineare Zusammenhänge bei der Berechnung nichtlinearer Systeme können Sie die in angegebenen Daten verwenden.

Anwendung der statistischen Linearisierungsmethode zur Analyse

stationäre Modi und fehlendes Tracking

Die Möglichkeit, die Eigenschaften nichtlinearer Verknüpfungen durch lineare Abhängigkeiten zu ersetzen, ermöglicht die Verwendung von für lineare Systeme entwickelten Methoden bei der Analyse nichtlinearer Systeme. Wenden wir die Methode der statistischen Linearisierung an, um stationäre Moden in dem in Abb. gezeigten System zu analysieren. 7,9,

wobei F(e) die statische Eigenschaft des nichtlinearen Elements (Diskriminators) ist;

W(p) – Übertragungsfunktion des linearen Teils des Systems.

Die Aufgabe der Analyse besteht darin, den Einfluss der Diskriminatoreigenschaften auf die Genauigkeit des Systems zu beurteilen und die Bedingungen zu bestimmen, unter denen der normale Betrieb des Systems gestört wird und die Nachführung fehlschlägt.

Bei der Analyse der Betriebsgenauigkeit in Bezug auf die nichtzufällige Komponente des Signals g(t) wird das nichtlineare Element F(e) gemäß der Methode der statistischen Linearisierung durch eine lineare Verbindung mit einem Übertragungskoeffizienten ersetzt. Der dynamische Fehler wird, wie zuvor gezeigt, durch die Formel ermittelt:

Ein Beispiel für das Finden und Bestimmen der Bedingung für das Versagen der Nachverfolgung finden Sie in.

Fragen zum Selbsttest

1. Nennen Sie Näherungsmethoden zur Analyse nichtlinearer Systeme.

2. Was ist das Wesentliche an der Methode der harmonischen Linearisierung?

3. Was ist das Wesentliche an der statistischen Linearisierungsmethode?

4. Für welche nichtlinearen Verknüpfungen gilt q¢ (a) = 0?

5. Welche Kriterien für statistische Äquivalenz kennen Sie?

Bei der in Abbildung 1.5 b dargestellten Kennlinie handelt es sich um ein Dreistellungsrelais, bei dem eine zusätzliche Stellung auf Unempfindlichkeit zurückzuführen ist. Die Gleichung eines solchen Merkmals

x raus		x Zoll	< a ,

x raus	B siqn(xin)	x Zoll	>a.

Die in Abbildung 1.5c dargestellte Kennlinie ist ein Zweistellungsrelais mit Hysterese. Es wird auch „Relais mit Speicher“ genannt. Es „merkt“ sich seinen vorherigen Zustand und innerhalb der x-Eingabe< a сохраняет это своё значение. Уравне-

Definition eines solchen Merkmals

xout = b siqn(x − a)	xin > 0,
xout = b siqn(x + a)
xout = b siqn(x + a)	x Zoll< 0 ,

x aus = + b	xin > − a ;	x&in< 0,
x out = − b	xin< a;	xin > 0,

Bei der in Abbildung 1.5 d dargestellten Kennlinie handelt es sich um ein Dreistellungsrelais mit Hysterese, bei dem eine zusätzliche Stellung durch die Totzone bedingt ist. Die Gleichung eines solchen Merkmals

Aus den obigen Gleichungen geht klar hervor, dass bei Fehlen einer Hystereseschleife die Ausgangswirkung des Relais nur vom Wert von xin oder xout = f (xin) abhängt.

Bei Vorhandensein einer Hystereseschleife hängt der Wert von x out auch von der Ableitung nach x in oder x out = f (x in ,x & in) ab, wobei x & in das Vorhandensein von „Speicher“ in der charakterisiert Relais.

Um Probleme der Analyse und Synthese eines nichtlinearen Systems zu lösen, ist es zunächst notwendig, sein mathematisches Modell zu konstruieren, das den Zusammenhang zwischen den Ausgangssignalen des Systems und den Signalen charakterisiert, die die auf das System ausgeübten Einflüsse widerspiegeln. Als Ergebnis erhalten wir eine nichtlineare Differentialgleichung höherer Ordnung, manchmal mit einer Reihe logischer Beziehungen. Moderne Computertechnologie ermöglicht die Lösung beliebiger nichtlinearer Gleichungen, und eine unglaublich große Anzahl dieser nichtlinearen Differentialgleichungen muss gelöst werden. Dann wählen Sie das Beste aus. Gleichzeitig kann man jedoch nicht sicher sein, dass die gewählte Lösung wirklich optimal ist, und es ist nicht bekannt, wie die gewählte Lösung verbessert werden kann. Daher ist eines der Probleme der Kontrolltheorie wie folgt.

Entwicklung von Entwurfsmethoden für Steuerungssysteme, mit denen Sie die beste Struktur und optimale Verhältnisse von Systemparametern ermitteln können.

Um diese Aufgabe abzuschließen, benötigen Sie Folgendes Berechnungsmethoden, die

ermöglichen es, in relativ einfacher Form die mathematischen Zusammenhänge zwischen den Parametern eines nichtlinearen Systems und den dynamischen Indikatoren des Steuerungsprozesses zu bestimmen.

Leniya. Und ohne eine Lösung für eine nichtlineare Differentialgleichung zu finden. Um das Problem zu lösen, werden die nichtlinearen Eigenschaften realer Elemente des Systems durch einige idealisierte Näherungseigenschaften ersetzt. Die Berechnung nichtlinearer Systeme unter Verwendung solcher Eigenschaften liefert ungefähre Ergebnisse, aber die Hauptsache ist, dass die erhaltenen Abhängigkeiten es ermöglichen, die Struktur und Parameter des Systems mit seinen dynamischen Eigenschaften in Beziehung zu setzen.

In den einfachsten Fällen und hauptsächlich für ein nichtlineares System zweiter Ordnung wird es verwendet Phasenpfadmethode, mit dem Sie die Bewegungsdynamik eines nichtlinearen Systems für verschiedene Arten nichtlinearer Verbindungen unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen klar darstellen können. Allerdings ist es schwierig, mit dieser Methode verschiedene äußere Einflüsse zu berücksichtigen.

Für ein System höherer Ordnung wird es verwendet Methode der harmonischen Linearisierung. Bei der herkömmlichen Linearisierung wird eine nichtlineare Kennlinie als linear behandelt und verliert einige Eigenschaften. Bei der harmonischen Linearisierung bleiben die spezifischen Eigenschaften der nichtlinearen Verbindung erhalten. Aber diese Methode ist ungefähr. Es wird verwendet, wenn eine Reihe von Bedingungen erfüllt sind, die bei der Berechnung eines nichtlinearen Systems mit dieser Methode angezeigt werden. Eine wichtige Eigenschaft dieser Methode besteht darin, dass sie die Systemparameter direkt mit den dynamischen Indikatoren des Regulierungsprozesses verbindet.

Um den statistischen Regulierungsfehler unter zufälligen Einflüssen zu bestimmen, verwenden Sie statistische Linearisierungsmethode. Der Kern dieser Methode besteht darin, dass das nichtlineare Element durch ein äquivalentes lineares Element ersetzt wird, das auf die gleiche Weise wie das nichtlineare Element die ersten beiden statistischen Momente einer Zufallsfunktion transformiert: den mathematischen Erwartungswert (Durchschnittswert) und die Streuung ( oder Standardabweichung). Es gibt andere Methoden zur Analyse nichtlinearer Systeme. Zum Beispiel, Kleinparametermethode in Form von B.V. Bulgakow. Asymptotische Methode N.M. Krylov und N.N. Bogoljubowa einen Prozess zeitlich in der Nähe einer periodischen Lösung zu analysieren. Graphoanalytisch Mit der Methode lässt sich ein nichtlineares Problem auf ein lineares reduzieren. Harmonische Balance-Methode, das von L.S. verwendet wurde. Goldfarb zur Analyse der Stabilität nichtlinearer Systeme anhand des Nyquist-Kriteriums. Grafisch-analytische Methoden, unter denen die am weitesten verbreitete Methode D.A. ist. Baschkirowa. Von der Vielfalt der Forschungsmethoden wird dieses Lehrbuch Folgendes berücksichtigen: die Methode der Phasentrajektorien, die Methode der Punkttransformationen, die Methode der harmonischen Linearisierung E.P. Popov, grafisch-analytische Methode L.S. Goldfarb, Kriterium der absoluten Stabilität von V.M. Popov, Methode der statistischen Linearisierung.

„Theorie der automatischen Steuerung“

„Methoden zur Untersuchung nichtlinearer Systeme“

1. Methode der Differentialgleichungen

Die Differentialgleichung eines geschlossenen nichtlinearen Systems n-ter Ordnung (Abb. 1) lässt sich in ein System von n-Differentialgleichungen erster Ordnung in der Form umwandeln:

wobei: – Variablen, die das Verhalten des Systems charakterisieren (eine davon kann eine kontrollierte Variable sein); – nichtlineare Funktionen; u – Einfluss einstellen.

Typischerweise werden diese Gleichungen in endlichen Differenzen geschrieben:

Wo sind die Anfangsbedingungen?

Wenn die Abweichungen nicht groß sind, kann dieses System als System algebraischer Gleichungen gelöst werden. Die Lösung kann grafisch dargestellt werden.

2. Phasenraummethode

Betrachten wir den Fall, dass der äußere Einfluss Null ist (U = 0).

Die Bewegung des Systems wird durch eine Änderung seiner Koordinaten – als Funktion der Zeit – bestimmt. Die Werte charakterisieren zu jedem Zeitpunkt den Zustand (die Phase) des Systems und bestimmen die Koordinaten des Systems mit n-Achsen und können als Koordinaten eines (darstellenden) Punktes M dargestellt werden (Abb. 2).

Der Phasenraum ist der Koordinatenraum des Systems.

Wenn sich die Zeit t ändert, bewegt sich Punkt M entlang einer Trajektorie, die Phasentrajektorie genannt wird. Wenn wir die Anfangsbedingungen ändern, erhalten wir eine Familie von Phasentrajektorien, die als Phasenporträt bezeichnet wird. Das Phasenporträt bestimmt die Art des Übergangsprozesses in einem nichtlinearen System. Das Phasenporträt weist spezielle Punkte auf, zu denen die Phasentrajektorien des Systems tendieren oder sich davon entfernen (es können mehrere davon sein).

Das Phasenporträt kann geschlossene Phasentrajektorien enthalten, die als Grenzzyklen bezeichnet werden. Grenzzyklen kennzeichnen Selbstschwingungen im System. Die Phasentrajektorien schneiden sich nirgendwo, außer an speziellen Punkten, die die Gleichgewichtszustände des Systems charakterisieren. Grenzzyklen und Gleichgewichtszustände können stabil oder instabil sein.

Das Phasenporträt charakterisiert das nichtlineare System vollständig. Ein charakteristisches Merkmal nichtlinearer Systeme ist das Vorhandensein verschiedener Bewegungsarten, mehrerer Gleichgewichtszustände und das Vorhandensein von Grenzzyklen.

Die Phasenraummethode ist eine grundlegende Methode zur Untersuchung nichtlinearer Systeme. Es ist viel einfacher und bequemer, nichtlineare Systeme auf der Phasenebene zu untersuchen, als transiente Prozesse im Zeitbereich darzustellen.

Geometrische Konstruktionen im Raum sind weniger visuell als Konstruktionen auf einer Ebene, wenn das System zweiter Ordnung ist und die Phasenebenenmethode verwendet wird.

Anwendung der Phasenebenenmethode für lineare Systeme

Lassen Sie uns die Beziehung zwischen der Art des Übergangsprozesses und den Kurven der Phasentrajektorien analysieren. Phasentrajektorien können entweder durch Integration der Phasentrajektoriengleichung oder durch Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung 2. Ordnung erhalten werden.

Das System sei gegeben (Abb. 3).

Betrachten wir die Freizügigkeit des Systems. In diesem Fall: U(t)=0, e(t)=– x(t)

Im Allgemeinen hat die Differentialgleichung die Form

Wo (1)

Dies ist eine homogene Differentialgleichung 2. Ordnung; ihre charakteristische Gleichung ist gleich

. (2)

Aus den Beziehungen werden die Wurzeln der charakteristischen Gleichung ermittelt

(3)

Stellen wir die Differentialgleichung 2. Ordnung in Form eines Systems dar

Gleichungen 1. Ordnung:

(4)

Wo ist die Änderungsrate der kontrollierten Variablen?

Im betrachteten linearen System repräsentieren die Variablen x und y die Phasenkoordinaten. Wir konstruieren das Phasenporträt im Raum der Koordinaten x und y, d.h. auf der Phasenebene.

Wenn wir die Zeit aus Gleichung (1) ausschließen, erhalten wir die Gleichung von Integralkurven oder Phasentrajektorien.

. (5)

Dies ist eine trennbare Gleichung

Betrachten wir mehrere Fälle

Die Dateien GB_prog.m und GB_mod.mdl sowie die Analyse der spektralen Zusammensetzung des periodischen Modus am Ausgang des linearen Teils – unter Verwendung der Dateien GB_prog.m und R_Fourie.mdl. Inhalt der Datei GB_prog.m: % Untersuchung nichtlinearer Systeme mit der Methode der harmonischen Balance % Verwendete Dateien: GB_prog.m, GB_mod.mdl und R_Fourie.mdl. % Verwendete Bezeichnungen: NE – nichtlineares Element, LP – linearer Teil. %Alles löschen...

Trägheitsfrei im zulässigen (von oben begrenzten) Frequenzbereich, darüber hinaus wird es träge. Je nach Art der Charakteristik werden nichtlineare Elemente mit symmetrischer und asymmetrischer Charakteristik unterschieden. Eine Eigenschaft, die nicht von der Richtung der sie bestimmenden Größen abhängt, heißt symmetrisch, d.h. Symmetrie relativ zum Ursprung des Systems haben ...

Studierende, Doktoranden und junge Wissenschaftler, die die Wissensbasis in ihrem Studium und ihrer Arbeit nutzen, werden Ihnen sehr dankbar sein.

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Staatliche Technische Universität Nowosibirsk

Abteilung für elektrische Antriebe und Automatisierung industrieller Anlagen

KURSARBEIT

in der Disziplin „Theorie der automatischen Steuerung“

Analyse nichtlinearer automatischer Steuerungssysteme

Student: Tishininov Yu.S.

Gruppe Ema-71

Leiter der Lehrveranstaltungen

Studienaufgabe:

1. Untersuchen Sie ein automatisches Steuerungssystem mit einem gegebenen Strukturdiagramm, einer Art der Nichtlinearität und numerischen Parametern mithilfe der Phasenebenenmethode.

1.1 Überprüfen Sie die Berechnungsergebnisse für Punkt 1 mithilfe einer Strukturmodellierung.

1.2 Untersuchen Sie den Einfluss von Eingangseinfluss- und Nichtlinearitätsparametern auf die Dynamik des Systems.

2. Untersuchen Sie ein automatisches Steuerungssystem mit einem gegebenen Strukturdiagramm, einer Art der Nichtlinearität und numerischen Parametern unter Verwendung der Methode der harmonischen Linearisierung.

2.1 Überprüfen Sie die Berechnungsergebnisse für Punkt 2 mittels Strukturmodellierung.

2.2 Untersuchen Sie den Einfluss von Eingangseinfluss- und Nichtlinearitätsparametern auf die Dynamik des Systems

1. Wir untersuchen ein automatisches Steuerungssystem mit einem gegebenen Strukturdiagramm, einer bestimmten Art der Nichtlinearität und numerischen Parametern unter Verwendung der Phasenebenenmethode.

Option Nr. 4-1-a

Ausgangsdaten.

1) Blockdiagramm eines nichtlinearen automatischen Steuerungssystems:

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Als bezeichnet wird ein System, in dem Arbeits- und Steuervorgänge durch technische Geräte ausgeführt werden Automatisches Kontrollsystem (ACS).

Blockdiagramm bezeichnet eine grafische Darstellung einer mathematischen Beschreibung eines Systems.

Ein Link in einem Blockdiagramm wird als Rechteck dargestellt, das äußere Einflüsse anzeigt, und die Übertragungsfunktion ist darin geschrieben.

Die Menge der Verbindungen bildet zusammen mit den Kommunikationslinien, die ihre Interaktion charakterisieren, ein Strukturdiagramm.

2) Blockdiagrammparameter:

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Phasenebenenmethode

Das Verhalten eines nichtlinearen Systems zu jedem Zeitpunkt wird durch die kontrollierte Variable und ihre (n?1)-Ableitung bestimmt. Wenn diese Größen entlang der Koordinatenachsen aufgetragen werden, wird der resultierende n-dimensionale Raum Phasenraum genannt. Der Zustand des Systems zu jedem Zeitpunkt wird im Phasenraum durch den darstellenden Punkt bestimmt. Während des Übergangsprozesses bewegt sich der darstellende Punkt im Phasenraum. Die Flugbahn seiner Bewegung wird Phasenbahn genannt. Im stationären Zustand ruht der Bildpunkt und wird als singulärer Punkt bezeichnet. Der Satz von Phasentrajektorien für verschiedene Anfangsbedingungen wird zusammen mit einzelnen Punkten und Trajektorien als Phasenporträt des Systems bezeichnet.

Bei der Untersuchung eines nichtlinearen Systems mit dieser Methode ist es notwendig, das Blockdiagramm (Abb. 1.1) in die Form umzuwandeln:

Das Minuszeichen zeigt an, dass die Rückmeldung negativ ist.

wobei X 1 und X 2 die Ausgangs- bzw. Eingangsgrößen des linearen Teils des Systems sind.

Finden wir die Differentialgleichung des Systems:

Dann machen wir einen Ersatz

Lösen wir diese Gleichung nach der höchsten Ableitung:

Nehmen wir an, dass:

Teilen wir Gleichung (1.2) durch Gleichung (1.1) und erhalten wir eine nichtlineare Differentialgleichung der Phasentrajektorie:

wobei x 2 = f(x 1).

Wenn Sie diese DE mithilfe der Isoklinenmethode lösen, können Sie ein Phasenporträt des Systems für verschiedene Anfangsbedingungen erstellen.

Eine Isokline ist die geometrische Lage von Punkten der Phasenebene, die die Phasentrajektorie im gleichen Winkel schneidet.

Bei dieser Methode wird die nichtlineare Kennlinie in lineare Abschnitte unterteilt und für jeden Abschnitt wird ein lineares DE geschrieben.

Um die Isoklinengleichung zu erhalten, wird die rechte Seite der Gleichung (1.3) mit einem konstanten Wert N gleichgesetzt und relativ gelöst.

Unter Berücksichtigung der Nichtlinearität erhalten wir:

Durch Angabe von N Werten im Bereich von bis wird eine Familie von Isoklinen konstruiert. Auf jeder Isokline wird eine Hilfsgerade im Winkel zur Abszissenachse gezeichnet

wobei m X der Skalierungsfaktor entlang der x-Achse ist;

m Y - Skalierungsfaktor entlang der y-Achse.

Wählen Sie m X = 0,2 Einheiten/cm, m Y = 40 Einheiten/cm;

Die endgültige Formel für den Winkel lautet:

Berechnen wir die Familie der Isoklinen und den Winkel für die Fläche. Fassen wir die Berechnung in Tabelle 1 zusammen:

Tabelle 1

Berechnen wir die Familie der Isoklinen und den Winkel für die Fläche. Fassen wir die Berechnung in Tabelle 2 zusammen:

Tabelle 2

Berechnen wir die Familie der Isoklinen und den Winkel für die Fläche. Fassen wir die Berechnung in Tabelle 3 zusammen:

Tisch 3

Lassen Sie uns eine Phasentrajektorie erstellen

Dazu werden Anfangsbedingungen an einer der Isoklinen (Punkt A) ausgewählt, zwei Geraden werden von Punkt A gezogen, bis sie die nächste Isoklinale in den Winkeln b 1, b 2 schneiden, wobei b 1, b 2? jeweils die Winkel der ersten und zweiten Isokline. Das durch diese Linien abgeschnittene Segment wird in zwei Hälften geteilt. Vom resultierenden Punkt, der Mitte des Segments, werden erneut zwei Linien in den Winkeln b 2, b 3 gezeichnet und das Segment erneut in zwei Hälften geteilt usw. Die resultierenden Punkte werden durch eine glatte Kurve verbunden.

Für jeden linearen Abschnitt der nichtlinearen Kennlinie werden Familien von Isoklinen erstellt, die durch Schaltlinien voneinander getrennt sind.

Die Phasentrajektorie zeigt, dass ein spezieller Punkt vom Typ mit stabilem Fokus erhalten wurde. Wir können daraus schließen, dass es im System keine Selbstschwingungen gibt und der Übergangsprozess stabil ist.

1.1 Lassen Sie uns die Berechnungsergebnisse mithilfe der Strukturmodellierung im MathLab-Programm überprüfen

Strukturschema:

Phasenportrait:

Transienter Prozess mit Eingabeaktion gleich 2:

Xout.max = 1,6

1.2 Wir untersuchen den Einfluss von Eingangseinfluss- und Nichtlinearitätsparametern auf die Dynamik des Systems

Erhöhen wir das Eingangssignal auf 10:

Xout.max = 14,3

Treg = 0,055

X raus max = 103

T reg = 0,18

Erhöhen wir den Empfindlichkeitsbereich auf 15:

Xout.max = 0,81

Reduzieren wir die Empfindlichkeitszone auf 1:

Xout.max = 3,2

Die Simulationsergebnisse bestätigten die Berechnungsergebnisse: Aus Abbildung 1.7 ist ersichtlich, dass der Prozess konvergent ist, es gibt keine Selbstschwingungen im System. Das Phasenporträt des simulierten Systems ähnelt dem berechneten Berechnungspfad.

Nachdem wir den Einfluss der Eingabeeinfluss- und Nichtlinearitätsparameter auf die Dynamik des Systems untersucht haben, können wir die folgenden Schlussfolgerungen ziehen:

1) Mit zunehmendem Eingangseinfluss steigt das Niveau des stationären Zustands, die Anzahl der Schwingungen ändert sich nicht und die Regelzeit nimmt zu.

2) Mit zunehmender Totzone steigt das Niveau des stationären Zustands, auch die Anzahl der Schwingungen bleibt unverändert und die Regelzeit nimmt zu.

2. Wir untersuchen ein automatisches Steuerungssystem mit einem gegebenen Strukturdiagramm, einer bestimmten Art der Nichtlinearität und numerischen Parametern unter Verwendung der Methode der harmonischen Linearisierung.

Option Nr. 5-20-c

Ausgangsdaten.

1) Blockdiagramm:

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2) Parameterwerte:

3) Art und Parameter der Nichtlinearität:

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Die am weitesten verbreitete Methode zur Untersuchung nichtlinearer automatischer Steuerungssysteme höherer Ordnung (n > 2) ist die Näherungsmethode der harmonischen Linearisierung unter Verwendung von Frequenzdarstellungen, die in der Theorie linearer Systeme entwickelt wurde.

Die Grundidee der Methode ist wie folgt. Ein geschlossenes autonomes (ohne äußere Einflüsse) nichtlineares System bestehe aus einem in Reihe geschalteten nichtlinearen trägheitsfreien NC und einem stabilen oder neutralen linearen Teil des LC (Abbildung 2.3, a)

u=0 x z Х=Х m sinwt z y

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y = Y m 1 sin (wt +)

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Um die Möglichkeit der Existenz monoharmonischer ungedämpfter Schwingungen in diesem System zu beurteilen, wird angenommen, dass am Eingang der nichtlinearen Verbindung ein harmonisches Sinussignal x(t) = X m sinwt wirkt (Abb. 2.3b). In diesem Fall enthält das Signal am Ausgang der nichtlinearen Verbindung z(t) = z ein Spektrum harmonischer Komponenten mit den Amplituden Z m 1, Z m 2, Z m 3 usw. und Frequenzen w, 2w, 3w usw. Es wird davon ausgegangen, dass dieses Signal z(t), das den linearen Teil W l (jw) durchläuft, von diesem so weit gefiltert wird, dass im Signal am Ausgang des linearen Teils y(t) alle höheren Harmonischen Y m 2, Y m 3 usw. und davon ausgehen

y(t)Y m 1 sin(wt +)

Die letzte Annahme wird Filterhypothese genannt, und die Erfüllung dieser Hypothese ist eine notwendige Bedingung für die harmonische Linearisierung.

Die Äquivalenzbedingung für die in Abb. 2.3, a und b, können als Gleichheit formuliert werden

x(t) + y(t) = 0(1)

Wenn die Filterhypothese y(t) = Y m 1 sin(wt +) erfüllt ist, teilt sich Gleichung (1) in zwei Teile

Die Gleichungen (2) und (3) werden harmonische Gleichgewichtsgleichungen genannt; der erste von ihnen drückt das Gleichgewicht der Amplituden und der zweite das Gleichgewicht der Phasen harmonischer Schwingungen aus.

Damit im betrachteten System ungedämpfte harmonische Schwingungen vorliegen, müssen die Bedingungen (2) und (3) erfüllt sein, wenn die Filterhypothese erfüllt ist.

Lassen Sie uns die Methode von Goldfarb verwenden, um die charakteristische Gleichung der Form grafisch zu lösen

W LCH (p) W NE (A) +1 = 0

W LCH (jw) W NE (A) = -1

Um Selbstschwingungen näherungsweise zu bestimmen, werden der Phasenfrequenzgang des linearen Teils des Systems und die inverse negative Kennlinie des nichtlinearen Elements konstruiert.

Um die AFC-Antwort des linearen Teils zu konstruieren, transformieren wir das Blockdiagramm in die Form von Abb. 2.4:

Als Ergebnis der Transformation erhalten wir das Diagramm in Abb. 2.5:

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Finden wir die Übertragungsfunktion des linearen Teils des Systems:

Beseitigen wir die Irrationalität im Nenner, indem wir Zähler und Nenner mit der Konjugation des Nenners multiplizieren. Wir erhalten:

Teilen wir das Ergebnis in Imaginär- und Realteil auf:

Um die inverse negative Charakteristik eines nichtlinearen Elements zu konstruieren, verwenden wir die Formel:

Nichtlinearitätsparameter:

A ist die Amplitude, vorausgesetzt, dass.

Die AFC-Antwort des linearen Teils des Systems und die inverse negative Charakteristik des nichtlinearen Elements sind in Abb. dargestellt. 2.6:

Um die Stabilität von Eigenschwingungen zu bestimmen, verwenden wir die folgende Formel: Wenn der Punkt, der der im Vergleich zum Schnittpunkt erhöhten Amplitude entspricht, nicht vom Frequenzgang des linearen Teils des Systems abgedeckt wird, dann sind die Eigenschwingungen stabil . Wie aus Abbildung 2.6 ersichtlich ist, ist die Lösung stabil, daher kommt es zu Eigenschwingungen im System.

2.1 Lassen Sie uns die Berechnungsergebnisse mithilfe der Strukturmodellierung im MathLab-Programm überprüfen.

Abbildung 2.7: Blockdiagramm

Transienter Prozess mit Eingabeaktion gleich 1 (Abbildung 2.8):

automatische Steuerung nichtlinearer Harmonischer

Wie aus der Grafik ersichtlich ist, stellen sich Eigenschwingungen ein. Lassen Sie uns den Einfluss der Nichtlinearität auf die Stabilität des Systems überprüfen.

2.2 Lassen Sie uns den Einfluss der Eingabeeinfluss- und Nichtlinearitätsparameter auf die Dynamik des Systems untersuchen.

Erhöhen wir das Eingangssignal auf 100:

Erhöhen wir das Eingangssignal auf 270

Reduzieren wir das Eingangssignal auf 50:

Erhöhen wir die Sättigung auf 200:

Reduzieren wir die Sättigung auf 25:

Reduzieren wir die Sättigung auf 10:

Die Simulationsergebnisse bestätigten die Berechnungsergebnisse nicht eindeutig:

1) Im System treten Eigenschwingungen auf und Sättigungsänderungen wirken sich auf die Amplitude der Schwingungen aus.

2) Wenn der Eingangseinfluss zunimmt, ändert sich der Wert des Ausgangssignals und das System tendiert zu einem stabilen Zustand.

LISTE DER VERWENDETEN QUELLEN:

1. Sammlung von Problemen zur Theorie der automatischen Regulierung und Steuerung. Ed. V.A. Besekersky, fünfte Auflage, überarbeitet. - M.: Nauka, 1978. - 512 S.

2. Theorie der automatischen Steuerung. Teil II. Theorie nichtlinearer und spezieller automatischer Steuerungssysteme. Ed. A. A. Voronova. Lehrbuch Handbuch für Universitäten. - M.: Höher. Schule, 1977. - 288 S.

3. Topcheev Yu.I. Atlas zum Entwurf automatischer Steuerungssysteme: Lehrbuch. Zuschuss. ? M.: Maschinenbau, 1989. ? 752 S.

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